Yarı-tanjant Demette İzdüşümlü Lineer Konneksiyonların Liftleri

<table class="MsoNormalTable" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin-left: 5.4pt;">

<tbody><tr style="mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes;mso-yfti-lastrow:yes;

height:47.25pt">

<td width="692" style="width:518.9pt;border:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:

.5pt;mso-border-left-alt:1.0pt;mso-border-bottom-alt:.5pt;mso-border-right-alt:

1.0pt;mso-border-color-alt:black;mso-border-style-alt:solid;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;

height:47.25pt">

Proje Özeti<o:p></o:p>

i. Bu

projenin amacı tM Yarı-tanjant demette izdüşümlü lineer konneksiyonların tam

ve yatay liftlerini tanımlamaktır. Ayrıca bu çalışmada izdüşümlü lineer

konneksiyonların tam ve yatay liftleri ile ilgili çeşitli özellikler

incelenecektir. Bu projede infinitesimal lineer dönüşümlere bakılacak olup tM

Yarı-tanjant demete (0,2) tipli tensor alanlarının dikey, tam ve yatay

liftleri ile bunlara ait çeşitli geometrik özellikler incelenecektir. Ayrıca

bu proje ile güzel kare dönüşümlerine yeni bir örnek sunulması

amaçlanmaktadır.<o:p></o:p>

ii. Yano ve Ishihara (1967) [24] tanjant demette

konneksiyonların ve tensör alanlarının yatay liftleriyle ilgili çalışmalarda

bulunmuşlardır. Morimoto (1970) [10] tanjant demette tensör alanlarının ve

konneksiyonların liftleri hakkında çalışmalarda bulunmuştur. Yano ve

Petterson (1967) [27] çalışmasında lift konusu, kotanjant demet için de

incelenmiştir. Yano ve Ishihara (1973) [23] çalışmasında ise, hem tanjant hem

de kotanjant demetlerdeki dikey, tam, yatay ve diagonal liftlerle ilgili elde

edilmiş önemli sonuçlara yer verilmiştir. Yarı-tanjant demet ise Duc (1979)

[3] tarafından tanımlanmış olup yarı-tanjant demete ait bazı özellikleri

Vishnevskii (2002) [20] tarafından incelenmiştir. Yarı-tanjant demete Lie ve

kovaryant türevlerinin tam liftleri ise Salimov ve Kadıoğlu (2000) [15] tarafından

çalışılmıştır. Ayrıca, yarı-tanjant demette izdüşümlü lineer konneksiyonlar

ve bunların bazı özellikleri (eğrilik, burulma tensörleri ile Lie türevleri)

(Vishnevskii, 2002; Vishnevskii vd., 1985) [19,20] de çalışılmıştır. Bu

projede ise Vishnevskii (2002) [20] tarafından başlatılan yarı-tanjant

(pull-back) demette izdüşümlü lineer konneksiyonların liftleri araştırılacak

ve yarı-tanjant (pull-back) demette izdüşümlü lineer konneksiyonların tam ve

yatay liftleri tanımlanıp, bunlarla ilgili çeşitli lift problemleri

çalışılacaktır. Daha sonra ise yarı-tanjant demette güzel kare (good square)

dönüşüme ve infinitesimal lineer dönüşümlere bakılacaktır. Ayrıca yarı-tanjant

(pull-back) demete (0,2) tipli tensor alanlarının dikey, tam ve yatay

liftleri ve bu liftlerle ilgili özellikler incelenecektir. Bu projede son

olarak kotanjant demet T*M izdüşümü yardımıyla tanjant demetin TM pull-back

(yarı-tanjant tM) demeti tanımlanacak ve bu demete tam ve yatay liftler

incelenecektir. Proje 24 aya tamamlanacak olup 4 önemli aşamadan oluşacaktır:

<o:p></o:p>

1. İzdüşümlü lineer konneksiyonların tam liftleri,

güzel kare (good square) dönüşümü ve infinitesimal lineer dönüşümler, 2.

Yarı-tanjant (pull-back) demette metrikler, 3. İzdüşümlü lineer

konneksiyonların yatay liftleri,<o:p></o:p>

4. Kotanjant demet T*M izdüşümü yardımıyla

tanımlanan tanjant demetin TM pull-back (yarı-tanjant tM) demetine tam ve

yatay liftler.<o:p></o:p>

Konu seçimi ve özgün değeri: Yarı-tanjant demet, tanjant demetten farklı olup bir pull-back

demeti tanımlar. Yapılacak bu çalışma ile pull-back demetlerde izdüşümlü

lineer konneksiyonların tam ve yatay liftleri ayrıntılı olarak analiz

edilecek, konneksiyon katsayıları hesaplanacak ve elde edilen bulgular ile

yarı-tanjant demette izdüşümlü lineer konneksiyonların çeşitli lift

problemleri ele alınacaktır. Projedeki yarı-tanjant demette izdüşümlü lineer

konneksiyonların tam ve yatay liftlerinin araştırılması daha sonra

incelenecek olan yarı-demet teorisinde şimdiye kadar çözülmemiş bazı

problemlerin çözümünde büyük mesafe alınmasını sağlayacaktır. Proje, yarı-tanjant demetindeki izdüşümlü lineer

konneksiyonların tam ve yatay liftleri ile müzikal izomorfizm kullanılarak

(yarı-tanjant demetten yarı-kotanjant demete tanımlı) yarı-kotanjant

demetteki izdüşümlü lineer konneksiyonların tam ve yatay liftleri arasındaki

ilişkinin incelenmesine önemli katkı sağlayacaktır. Ayrıca yarı-tanjant

demetlerin Güzel kare (good square) dönüşümüne somut bir örnek olduğu

görülecektir. Tanjant demette yer alan metrikler non-dejenere (regüler)

metriklerdir. Yarı-tanjant demetteki metriklerin ise dejenere (singüler)

metrik olması ön görülmektedir. Fizik alanında ve diferensiyel geometride

dejenere metrikler önemli bir öneme sahip olup bu metriklerle çok sayıda

çalışmalar yapılmaktadır. Dolayısıyla elde edilecek yeni dejenere

metrikler ile gelecekte çok sayıda çalışmalar yapılacaktır. <o:p></o:p>

iii. Proje ile

ilgili olarak, kuramsal temel, genel metotlar ve araştırma teknikleri olarak aşağıdakiler

kullanılacaktır:<o:p></o:p>

1. Tanjant ve yarı-tanjant demet geometrisi

(Kuramsal temel-Tanjant ve yarı-tanjant demetler ve bu demetlerdeki liftler

ile çeşitli operatörler)<o:p></o:p>

2. Klasik tensör analizi (indislerin yani lokal

koordinatların kullanımı)<o:p></o:p>

3. Kovaryant diferensiyelleme formalizmi (global

inceleme tekniği).<o:p></o:p>

iv. Proje başarı ile sonuçlandığı takdirde en az

1 makalenin uluslararası indeksli dergilerde 3 makalenin ise uluslararası

hakemli dergilere yayınlama imkanı öngörülmektedir. Ayrıca en az 4 uluslararası

bildiri planlanmaktadır. İleri zamanlarda çıkarmayı umut ettiğim lisansüstü

İngilizce yayın olacak Yarı-demet teorisi kitabım için önemli bir içerik

teşkil edecektir. Proje konuları 1 doktora tezi ve 1 yüksek lisans tezi

eşliğinde tamamlanacaktır. Proje güncel konular olan yarı-kotanjant demet

geometrisine ve lift teorisine katkıda bulunacaktır. Ayrıca gelecekte tüme

varım yöntemi kullanılarak proje çıktıları ile yarı-demet teorisi için genel

sonuçlar elde edilecektir.<o:p></o:p>

</td>

</tr>

</tbody></table>